Binomial Distribution Calculator

Enter the probability of success for a single trial, the number of trials, and the number of successes to calculate the binomial and cumulative probabilities of getting successful events.

Probabilities:

P(X = x):
 
P(X < x):
 
P(X ≤ x):
 
P(X > x):
 
P(X ≥ x):
 
Learn how we calculated this below

On this page:

By
Bio image of Joe Sexton

Joe is the creator of Inch Calculator and has over 20 years of experience in engineering and construction. He holds several degrees and certifications.

Full bio

Review Checkmark
Reviewed by
Bio image of Pateakia Heath, PhD

Pateakia has worked in education for 15 years and has three degrees, including a PhD, Master's degree, and Bachelor's degree. She specializes in mathematics.

Full bio

Save on Pinterest Save Share on Facebook Share Share on Twitter Tweet

How to Calculate a Binomial Distribution

In statistics, a binomial distribution is a probability distribution of the number of successes in a sequence of independent experiments or trials. The result of each experiment must be boolean, which means the result must be a yes/no or success/fail.

Unlike a normal distribution, a binomial distribution is a probability distribution for a discrete variable, while a normal distribution is a distribution for a continuous variable. Binomial distributions can also be skewed, while a normal distribution is always symmetrical.

Each experiment in the sequence is referred to as a trial, or more specifically, a Bernoulli trial. The sequence is sometimes referred to as a Bernoulli process, named for mathematician Jacob Bernoulli.

When the results of x success in the sequence of n trials with a probability p of success in a single trial are plotted, they form a distribution curve.

To help better understand the binomial distribution, let’s use the example of recording coin flips. Let’s say we ran a sequence of 100 coin flips and measured the number of times it landed on heads. If we ran this sequence 20,000 times and plotted the number of heads in each sequence, we might see a distribution like this one.

Binomial distribution graph showing the number times a coin landed on heads when flipped 100 times

In this sequence, the number of trials n is 100, representing the 100 coin flips. The number of successes x is the number of times in the sequence that the coin landed on heads. The probability p is 0.5 since there is a 50% chance of landing on heads.

How to Calculate a Binomial Probability

A binomial probability is a probability of getting exactly x successes in a sequence of n trials, where the probability p of success in each trial is the same. Each trial must be independent and mutually exclusive.

There are a few ways to calculate a binomial probability. The first method is to use a formula, and the second is to refer to a binomial probability distribution chart.

Binomial Probability Formula

You can calculate the binomial probability using the binomial probability mass function:[1]

P\left ( x;n,p \right ) = \binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}
\text{Where:}
x = \text{number of occurrences of a specific outcome in n trials}
p = \text{probability of success in a single trial}
n = \text{number of trials}
\binom{n}{x} = \text{number of combinations}

The binomial probability mass function (PMF) states that the probability of x successes in a sequence of n independent trials with a probability of success in a single trial p is equal to the number of possible combinations of success times p to the power of x times 1 minus p to the power of n minus x.

You may also see the probability mass function referred to as the binomial probability density function (PDF). But, because a binomial distribution is a distribution of a discrete variable rather than a continuous variable, it is technically a mass function not a density function.

You can calculate the number of possible combinations using our combinations calculator. The number of combinations can also be found using the formula:

\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}

The number of combinations is equal to the number of events or trials n factorial divided by the number of successes x factorial times n minus x factorial. Our factorial calculator might be useful for this calculation.

Binomial probability formula stating that the probability of x< successes in a sequence of n independent trials with a probability of success in a single trial p is equal to the number of possible combinations of success times p to the power of x times 1 minus p to the power of n minus x

Binomial Probability Distribution Table

The binomial distribution table below shows the probability of getting x successes in a sample of n trials, with a probability of success in each trial p.

Binomial probability table showing the cumulative probability of getting x successes in n independent trial, with a probability of success in each trial p.
p
x 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95
n = 1 0 0.950 0.900 0.800 0.700 0.600 0.500 0.400 0.300 0.200 0.100 0.050
1 0.050 0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 0.950
n = 2 0 0.903 0.810 0.640 0.490 0.360 0.250 0.160 0.090 0.040 0.010 0.003
1 0.095 0.180 0.320 0.420 0.480 0.500 0.480 0.420 0.320 0.180 0.095
2 0.003 0.010 0.040 0.090 0.160 0.250 0.360 0.490 0.640 0.810 0.903
n = 3 0 0.857 0.729 0.512 0.343 0.216 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001 0.000
1 0.135 0.243 0.384 0.441 0.432 0.375 0.288 0.189 0.096 0.027 0.007
2 0.007 0.027 0.096 0.189 0.288 0.375 0.432 0.441 0.384 0.243 0.135
3 0.000 0.001 0.008 0.027 0.064 0.125 0.216 0.343 0.512 0.729 0.857
n = 4 0 0.815 0.656 0.410 0.240 0.130 0.063 0.026 0.008 0.002 0.000 0.000
1 0.171 0.292 0.410 0.412 0.346 0.250 0.154 0.076 0.026 0.004 0.000
2 0.014 0.049 0.154 0.265 0.346 0.375 0.346 0.265 0.154 0.049 0.014
3 0.000 0.004 0.026 0.076 0.154 0.250 0.346 0.412 0.410 0.292 0.171
4 0.000 0.000 0.002 0.008 0.026 0.063 0.130 0.240 0.410 0.656 0.815
n = 5 0 0.774 0.590 0.328 0.168 0.078 0.031 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000
1 0.204 0.328 0.410 0.360 0.259 0.156 0.077 0.028 0.006 0.000 0.000
2 0.021 0.073 0.205 0.309 0.346 0.313 0.230 0.132 0.051 0.008 0.001
3 0.001 0.008 0.051 0.132 0.230 0.313 0.346 0.309 0.205 0.073 0.021
4 0.000 0.000 0.006 0.028 0.077 0.156 0.259 0.360 0.410 0.328 0.204
5 0.000 0.000 0.000 0.002 0.010 0.031 0.078 0.168 0.328 0.590 0.774
n = 6 0 0.735 0.531 0.262 0.118 0.047 0.016 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000
1 0.232 0.354 0.393 0.303 0.187 0.094 0.037 0.010 0.002 0.000 0.000
2 0.031 0.098 0.246 0.324 0.311 0.234 0.138 0.060 0.015 0.001 0.000
3 0.002 0.015 0.082 0.185 0.276 0.313 0.276 0.185 0.082 0.015 0.002
4 0.000 0.001 0.015 0.060 0.138 0.234 0.311 0.324 0.246 0.098 0.031
5 0.000 0.000 0.002 0.010 0.037 0.094 0.187 0.303 0.393 0.354 0.232
6 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 0.047 0.118 0.262 0.531 0.735
n = 7 0 0.698 0.478 0.210 0.082 0.028 0.008 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.257 0.372 0.367 0.247 0.131 0.055 0.017 0.004 0.000 0.000 0.000
2 0.041 0.124 0.275 0.318 0.261 0.164 0.077 0.025 0.004 0.000 0.000
3 0.004 0.023 0.115 0.227 0.290 0.273 0.194 0.097 0.029 0.003 0.000
4 0.000 0.003 0.029 0.097 0.194 0.273 0.290 0.227 0.115 0.023 0.004
5 0.000 0.000 0.004 0.025 0.077 0.164 0.261 0.318 0.275 0.124 0.041
6 0.000 0.000 0.000 0.004 0.017 0.055 0.131 0.247 0.367 0.372 0.257
7 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.008 0.028 0.082 0.210 0.478 0.698
n = 8 0 0.663 0.430 0.168 0.058 0.017 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.279 0.383 0.336 0.198 0.090 0.031 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000
2 0.051 0.149 0.294 0.296 0.209 0.109 0.041 0.010 0.001 0.000 0.000
3 0.005 0.033 0.147 0.254 0.279 0.219 0.124 0.047 0.009 0.000 0.000
4 0.000 0.005 0.046 0.136 0.232 0.273 0.232 0.136 0.046 0.005 0.000
5 0.000 0.000 0.009 0.047 0.124 0.219 0.279 0.254 0.147 0.033 0.005
6 0.000 0.000 0.001 0.010 0.041 0.109 0.209 0.296 0.294 0.149 0.051
7 0.000 0.000 0.000 0.001 0.008 0.031 0.090 0.198 0.336 0.383 0.279
8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.017 0.058 0.168 0.430 0.663
n = 9 0 0.630 0.387 0.134 0.040 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.299 0.387 0.302 0.156 0.060 0.018 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.063 0.172 0.302 0.267 0.161 0.070 0.021 0.004 0.000 0.000 0.000
3 0.008 0.045 0.176 0.267 0.251 0.164 0.074 0.021 0.003 0.000 0.000
4 0.001 0.007 0.066 0.172 0.251 0.246 0.167 0.074 0.017 0.001 0.000
5 0.000 0.001 0.017 0.074 0.167 0.246 0.251 0.172 0.066 0.007 0.001
6 0.000 0.000 0.003 0.021 0.074 0.164 0.251 0.267 0.176 0.045 0.008
7 0.000 0.000 0.000 0.004 0.021 0.070 0.161 0.267 0.302 0.172 0.063
8 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.018 0.060 0.156 0.302 0.387 0.299
9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.010 0.040 0.134 0.387 0.630
n = 10 0 0.599 0.349 0.107 0.028 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.315 0.387 0.268 0.121 0.040 0.010 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.075 0.194 0.302 0.233 0.121 0.044 0.011 0.001 0.000 0.000 0.000
3 0.010 0.057 0.201 0.267 0.215 0.117 0.042 0.009 0.001 0.000 0.000
4 0.001 0.011 0.088 0.200 0.251 0.205 0.111 0.037 0.006 0.000 0.000
5 0.000 0.001 0.026 0.103 0.201 0.246 0.201 0.103 0.026 0.001 0.000
6 0.000 0.000 0.006 0.037 0.111 0.205 0.251 0.200 0.088 0.011 0.001
7 0.000 0.000 0.001 0.009 0.042 0.117 0.215 0.267 0.201 0.057 0.010
8 0.000 0.000 0.000 0.001 0.011 0.044 0.121 0.233 0.302 0.194 0.075
9 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.010 0.040 0.121 0.268 0.387 0.315
10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.006 0.028 0.107 0.349 0.599
n = 11 0 0.569 0.314 0.086 0.020 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.329 0.384 0.236 0.093 0.027 0.005 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.087 0.213 0.295 0.200 0.089 0.027 0.005 0.001 0.000 0.000 0.000
3 0.014 0.071 0.221 0.257 0.177 0.081 0.023 0.004 0.000 0.000 0.000
4 0.001 0.016 0.111 0.220 0.236 0.161 0.070 0.017 0.002 0.000 0.000
5 0.000 0.002 0.039 0.132 0.221 0.226 0.147 0.057 0.010 0.000 0.000
6 0.000 0.000 0.010 0.057 0.147 0.226 0.221 0.132 0.039 0.002 0.000
7 0.000 0.000 0.002 0.017 0.070 0.161 0.236 0.220 0.111 0.016 0.001
8 0.000 0.000 0.000 0.004 0.023 0.081 0.177 0.257 0.221 0.071 0.014
9 0.000 0.000 0.000 0.001 0.005 0.027 0.089 0.200 0.295 0.213 0.087
10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.005 0.027 0.093 0.236 0.384 0.329
11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.020 0.086 0.314 0.569
n = 12 0 0.540 0.282 0.069 0.014 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.341 0.377 0.206 0.071 0.017 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.099 0.230 0.283 0.168 0.064 0.016 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.017 0.085 0.236 0.240 0.142 0.054 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000
4 0.002 0.021 0.133 0.231 0.213 0.121 0.042 0.008 0.001 0.000 0.000
5 0.000 0.004 0.053 0.158 0.227 0.193 0.101 0.029 0.003 0.000 0.000
6 0.000 0.000 0.016 0.079 0.177 0.226 0.177 0.079 0.016 0.000 0.000
7 0.000 0.000 0.003 0.029 0.101 0.193 0.227 0.158 0.053 0.004 0.000
8 0.000 0.000 0.001 0.008 0.042 0.121 0.213 0.231 0.133 0.021 0.002
9 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.054 0.142 0.240 0.236 0.085 0.017
10 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.016 0.064 0.168 0.283 0.230 0.099
11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.017 0.071 0.206 0.377 0.341
12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.014 0.069 0.282 0.540
n = 13 0 0.513 0.254 0.055 0.010 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.351 0.367 0.179 0.054 0.011 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.111 0.245 0.268 0.139 0.045 0.010 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.021 0.100 0.246 0.218 0.111 0.035 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000
4 0.003 0.028 0.154 0.234 0.184 0.087 0.024 0.003 0.000 0.000 0.000
5 0.000 0.006 0.069 0.180 0.221 0.157 0.066 0.014 0.001 0.000 0.000
6 0.000 0.001 0.023 0.103 0.197 0.209 0.131 0.044 0.006 0.000 0.000
7 0.000 0.000 0.006 0.044 0.131 0.209 0.197 0.103 0.023 0.001 0.000
8 0.000 0.000 0.001 0.014 0.066 0.157 0.221 0.180 0.069 0.006 0.000
9 0.000 0.000 0.000 0.003 0.024 0.087 0.184 0.234 0.154 0.028 0.003
10 0.000 0.000 0.000 0.001 0.006 0.035 0.111 0.218 0.246 0.100 0.021
11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.010 0.045 0.139 0.268 0.245 0.111
12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.011 0.054 0.179 0.367 0.351
13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.010 0.055 0.254 0.513
n = 14 0 0.488 0.229 0.044 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.359 0.356 0.154 0.041 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.123 0.257 0.250 0.113 0.032 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.026 0.114 0.250 0.194 0.085 0.022 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.004 0.035 0.172 0.229 0.155 0.061 0.014 0.001 0.000 0.000 0.000
5 0.000 0.008 0.086 0.196 0.207 0.122 0.041 0.007 0.000 0.000 0.000
6 0.000 0.001 0.032 0.126 0.207 0.183 0.092 0.023 0.002 0.000 0.000
7 0.000 0.000 0.009 0.062 0.157 0.209 0.157 0.062 0.009 0.000 0.000
8 0.000 0.000 0.002 0.023 0.092 0.183 0.207 0.126 0.032 0.001 0.000
9 0.000 0.000 0.000 0.007 0.041 0.122 0.207 0.196 0.086 0.008 0.000
10 0.000 0.000 0.000 0.001 0.014 0.061 0.155 0.229 0.172 0.035 0.004
11 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.022 0.085 0.194 0.250 0.114 0.026
12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.006 0.032 0.113 0.250 0.257 0.123
13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.041 0.154 0.356 0.359
14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.044 0.229 0.488
n = 15 0 0.463 0.206 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.366 0.343 0.132 0.031 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.135 0.267 0.231 0.092 0.022 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.031 0.129 0.250 0.170 0.063 0.014 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.005 0.043 0.188 0.219 0.127 0.042 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000
5 0.001 0.010 0.103 0.206 0.186 0.092 0.024 0.003 0.000 0.000 0.000
6 0.000 0.002 0.043 0.147 0.207 0.153 0.061 0.012 0.001 0.000 0.000
7 0.000 0.000 0.014 0.081 0.177 0.196 0.118 0.035 0.003 0.000 0.000
8 0.000 0.000 0.003 0.035 0.118 0.196 0.177 0.081 0.014 0.000 0.000
9 0.000 0.000 0.001 0.012 0.061 0.153 0.207 0.147 0.043 0.002 0.000
10 0.000 0.000 0.000 0.003 0.024 0.092 0.186 0.206 0.103 0.010 0.001
11 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.042 0.127 0.219 0.188 0.043 0.005
12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.014 0.063 0.170 0.250 0.129 0.031
13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.022 0.092 0.231 0.267 0.135
14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.031 0.132 0.343 0.366
15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.035 0.206 0.463
n = 16 0 0.440 0.185 0.028 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.371 0.329 0.113 0.023 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.146 0.275 0.211 0.073 0.015 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.036 0.142 0.246 0.146 0.047 0.009 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.006 0.051 0.200 0.204 0.101 0.028 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000
5 0.001 0.014 0.120 0.210 0.162 0.067 0.014 0.001 0.000 0.000 0.000
6 0.000 0.003 0.055 0.165 0.198 0.122 0.039 0.006 0.000 0.000 0.000
7 0.000 0.000 0.020 0.101 0.189 0.175 0.084 0.019 0.001 0.000 0.000
8 0.000 0.000 0.006 0.049 0.142 0.196 0.142 0.049 0.006 0.000 0.000
9 0.000 0.000 0.001 0.019 0.084 0.175 0.189 0.101 0.020 0.000 0.000
10 0.000 0.000 0.000 0.006 0.039 0.122 0.198 0.165 0.055 0.003 0.000
11 0.000 0.000 0.000 0.001 0.014 0.067 0.162 0.210 0.120 0.014 0.001
12 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.028 0.101 0.204 0.200 0.051 0.006
13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.009 0.047 0.146 0.246 0.142 0.036
14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.015 0.073 0.211 0.275 0.146
15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.023 0.113 0.329 0.371
16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.028 0.185 0.440
n = 17 0 0.418 0.167 0.023 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.374 0.315 0.096 0.017 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.158 0.280 0.191 0.058 0.010 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.041 0.156 0.239 0.125 0.034 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.008 0.060 0.209 0.187 0.080 0.018 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000
5 0.001 0.017 0.136 0.208 0.138 0.047 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000
6 0.000 0.004 0.068 0.178 0.184 0.094 0.024 0.003 0.000 0.000 0.000
7 0.000 0.001 0.027 0.120 0.193 0.148 0.057 0.009 0.000 0.000 0.000
8 0.000 0.000 0.008 0.064 0.161 0.185 0.107 0.028 0.002 0.000 0.000
9 0.000 0.000 0.002 0.028 0.107 0.185 0.161 0.064 0.008 0.000 0.000
10 0.000 0.000 0.000 0.009 0.057 0.148 0.193 0.120 0.027 0.001 0.000
11 0.000 0.000 0.000 0.003 0.024 0.094 0.184 0.178 0.068 0.004 0.000
12 0.000 0.000 0.000 0.001 0.008 0.047 0.138 0.208 0.136 0.017 0.001
13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.018 0.080 0.187 0.209 0.060 0.008
14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.034 0.125 0.239 0.156 0.041
15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.010 0.058 0.191 0.280 0.158
16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.017 0.096 0.315 0.374
17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.023 0.167 0.418
n = 18 0 0.397 0.150 0.018 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.376 0.300 0.081 0.013 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.168 0.284 0.172 0.046 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.047 0.168 0.230 0.105 0.025 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.009 0.070 0.215 0.168 0.061 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
5 0.001 0.022 0.151 0.202 0.115 0.033 0.004 0.000 0.000 0.000 0.000
6 0.000 0.005 0.082 0.187 0.166 0.071 0.015 0.001 0.000 0.000 0.000
7 0.000 0.001 0.035 0.138 0.189 0.121 0.037 0.005 0.000 0.000 0.000
8 0.000 0.000 0.012 0.081 0.173 0.167 0.077 0.015 0.001 0.000 0.000
9 0.000 0.000 0.003 0.039 0.128 0.185 0.128 0.039 0.003 0.000 0.000
10 0.000 0.000 0.001 0.015 0.077 0.167 0.173 0.081 0.012 0.000 0.000
11 0.000 0.000 0.000 0.005 0.037 0.121 0.189 0.138 0.035 0.001 0.000
12 0.000 0.000 0.000 0.001 0.015 0.071 0.166 0.187 0.082 0.005 0.000
13 0.000 0.000 0.000 0.000 0.004 0.033 0.115 0.202 0.151 0.022 0.001
14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.061 0.168 0.215 0.070 0.009
15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.025 0.105 0.230 0.168 0.047
16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.046 0.172 0.284 0.168
17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.013 0.081 0.300 0.376
18 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.018 0.150 0.397
n = 19 0 0.377 0.135 0.014 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.377 0.285 0.068 0.009 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.179 0.285 0.154 0.036 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.053 0.180 0.218 0.087 0.017 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.011 0.080 0.218 0.149 0.047 0.007 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
5 0.002 0.027 0.164 0.192 0.093 0.022 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000
6 0.000 0.007 0.095 0.192 0.145 0.052 0.008 0.001 0.000 0.000 0.000
7 0.000 0.001 0.044 0.153 0.180 0.096 0.024 0.002 0.000 0.000 0.000
8 0.000 0.000 0.017 0.098 0.180 0.144 0.053 0.008 0.000 0.000 0.000
9 0.000 0.000 0.005 0.051 0.146 0.176 0.098 0.022 0.001 0.000 0.000
10 0.000 0.000 0.001 0.022 0.098 0.176 0.146 0.051 0.005 0.000 0.000
11 0.000 0.000 0.000 0.008 0.053 0.144 0.180 0.098 0.017 0.000 0.000
12 0.000 0.000 0.000 0.002 0.024 0.096 0.180 0.153 0.044 0.001 0.000
13 0.000 0.000 0.000 0.001 0.008 0.052 0.145 0.192 0.095 0.007 0.000
14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.022 0.093 0.192 0.164 0.027 0.002
15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.007 0.047 0.149 0.218 0.080 0.011
16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.002 0.017 0.087 0.218 0.180 0.053
17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.036 0.154 0.285 0.179
18 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.009 0.068 0.285 0.377
19 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.014 0.135 0.377
n = 20 0 0.358 0.122 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
1 0.377 0.270 0.058 0.007 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
2 0.189 0.285 0.137 0.028 0.003 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
3 0.060 0.190 0.205 0.072 0.012 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
4 0.013 0.090 0.218 0.130 0.035 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
5 0.002 0.032 0.175 0.179 0.075 0.015 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000
6 0.000 0.009 0.109 0.192 0.124 0.037 0.005 0.000 0.000 0.000 0.000
7 0.000 0.002 0.055 0.164 0.166 0.074 0.015 0.001 0.000 0.000 0.000
8 0.000 0.000 0.022 0.114 0.180 0.120 0.035 0.004 0.000 0.000 0.000
9 0.000 0.000 0.007 0.065 0.160 0.160 0.071 0.012 0.000 0.000 0.000
10 0.000 0.000 0.002 0.031 0.117 0.176 0.117 0.031 0.002 0.000 0.000
11 0.000 0.000 0.000 0.012 0.071 0.160 0.160 0.065 0.007 0.000 0.000
12 0.000 0.000 0.000 0.004 0.035 0.120 0.180 0.114 0.022 0.000 0.000
13 0.000 0.000 0.000 0.001 0.015 0.074 0.166 0.164 0.055 0.002 0.000
14 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.037 0.124 0.192 0.109 0.009 0.000
15 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.015 0.075 0.179 0.175 0.032 0.002
16 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.005 0.035 0.130 0.218 0.090 0.013
17 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.072 0.205 0.190 0.060
18 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.003 0.028 0.137 0.285 0.189
19 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.007 0.058 0.270 0.377
20 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.012 0.122 0.358

How to Calculate Cumulative Binomial Probabilities

The binomial probability formula is useful to find the probability of exactly x successes in the sequence of trials. However, sometimes you want to know the probability of less than or equal to x successes, for instance.

This is referred to as the cumulative binomial probability, and you can find it using a cumulative distribution function.

Binomial Cumulative Distribution Function

The cumulative distribution function to calculate cumulative binomial probabilities is:[2]

F\left ( x;n,p \right ) = \sum_{i=0}^{x} \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}

This is the binomial CDF that the calculator above uses to calculate the probabilities of getting less than or greater than x in the distribution.

A binomial distribution is very similar to a Poisson distribution, but while a binomial distribution counts discrete occurrences among discrete trials, a Poisson distribution counts discrete occurrences among a continuous domain.

Frequently Asked Questions

How do you know if something is a binomial distribution?

A binomial distribution will have results that will be a yes/no or a success/fail.

When would you use a binomial distribution?

You would use a binomial distribution when there can only be two outcomes, success or fail.

What makes something not binomial?

Something would be not binomial if you could have more than two outcomes.

Is rolling a dice a binomial distribution?

No, rolling a dice is a normal distribution.

Recommended Statistics Resources

Statistics Calculators Math Calculators

References

  1. Mohr, D., Binomial Probability Distribution, Science Direct, https://www.sciencedirect.com/topics/mathematics/binomial-probability-distribution
  2. National Institute of Standards and Technology, Exploratory Data Analysis - 1.3.6.6.18 Binomial Distribution, https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366i.htm